Рабочий лист — Квадратные уравнения (для ученика)

Квадратные уравнения. Метод замены

Рабочий лист · 9 класс
ФИО:
Класс: Дата:
Как работать: нажмите на синюю линию и выберите ответ. Когда захотите проверить себя, нажмите кнопку «Проверить всё» внизу — появится небольшой баннер с результатами и таймером. Кнопка «Вернуться к решениям» закроет его, и вы сможете продолжить. Будьте внимательны, не нажимайте просто так на кнопку «Проверить всё». Счётчик попыток не обнуляется.

Часть 1. Лёгкие задания

1. лёгкое x² − 5x + 6 = 0

По теореме Виета:

x₁ + x₂ =

x₁ · x₂ =

Корни уравнения:

x = ; x =

2. лёгкое x² − 7x + 12 = 0

По теореме Виета:

x₁ + x₂ =

x₁ · x₂ =

Корни: x = ; x =

Часть 2. Базовые задания

1. базовое 2x² + 3x − 5 = 0

Найдём дискриминант:

D = 3² − 4·2· = 9 + 40 = 49

Вычисляем корни:

x₁ = (-3 + 7) / 4 =

x₂ = (-3 - 7) / 4 =

2. базовое (x² − 2x)² − 3(x² − 2x) − 4 = 0

Замена: t = x² − 2x

t² − 3t − 4 = 0

t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² − 2x = 4 ⇒ x² − 2x − 4 = 0 ⇒ D = 20 ⇒ x = 1 ± √

Обратная замена (2 ветвь):

x² − 2x = -1 ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ x =

3. базовое (x² − 4x)² + 7(x² − 4x) + 12 = 0

Замена: t = x² − 4x

t² + 7t + 12 = 0

t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² − 4x = -3 ⇒ x² − 4x + 3 = 0 ⇒ x = ; x =

Обратная замена (2 ветвь):

x² − 4x = -4 ⇒ x² − 4x + 4 = 0 ⇒ x =

4. базовое 5x² + 3x − 2 = 0

D = 3² − 4·5· = 9 + 40 = 49

x₁ = (-3 + 7) / 10 =

x₂ = (-3 - 7) / 10 =

5. базовое x² − 4x + 5 = 0

D = (-4)² − 4·1·5 = 16 − 20 =

Так как D 0, то действительных корней нет.

6. базовое (x² − x)² − 2(x² − x) − 3 = 0

Замена: t = x² − x.

t² − 2t − 3 = 0 ⇒ t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² − x = 3 ⇒ x² − x − 3 = 0 ⇒ x = ( ± √13) / 2

Обратная замена (2 ветвь):

x² − x = -1 ⇒ x² − x + 1 = 0. D 0 (корней нет)

Часть 3. Сложные задания

1. сложное (x² + x)(x² + x − 2) = 3

Замена: t = x² + x

t(t − 2) = 3 ⇒ t² − 2t − = 0

t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² + x = 3 ⇒ x² + x − 3 = 0 ⇒ x = (-1 ± √) / 2

Обратная замена (2 ветвь):

x² + x = -1 ⇒ x² + x + 1 = 0. Дискриминант D 0 (корней нет)

2. сложное (x² + 2x − 1)(x² + 2x + 3) = 5

Замена: t = x² + 2x

(t − 1)(t + 3) = 5 ⇒ t² + 2t − = 0

t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² + 2x = 2 ⇒ x² + 2x − 2 = 0 ⇒ x = ± √3

Обратная замена (2 ветвь):

x² + 2x = -4 ⇒ x² + 2x + 4 = 0. D 0 (корней нет)

3. сложное (x² − 5x)² − 4(x² − 5x) + 3 = 0

Замена: t = x² − 5x.

t² − 4t + 3 = 0 ⇒ t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² − 5x = 1 ⇒ x² − 5x − 1 = 0 ⇒ x = ( ± √29) / 2

Обратная замена (2 ветвь):

x² − 5x = 3 ⇒ x² − 5x − 3 = 0 ⇒ x = (5 ± √) / 2

4. сложное (x² + 3x − 1)(x² + 3x + 3) = 5

Замена: t = x² + 3x.

(t − 1)(t + 3) = 5 ⇒ t² + 2t − = 0

t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² + 3x = 2 ⇒ x² + 3x − 2 = 0 ⇒ x = ( ± √17) / 2

Обратная замена (2 ветвь):

x² + 3x = -4 ⇒ x² + 3x + 4 = 0. D 0 (корней нет)

5. олимпиадное (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24

Группируем скобки:

(x + 1)(x + 4) = x² + 5x +

(x + 2)(x + 3) = x² + 5x +

Замена: t = x² + 5x + 4. Тогда:

t(t + ) = 24 ⇒ t² + 2t − = 0

t₁ = ; t₂ =

Обратная замена (1 ветвь):

x² + 5x + 4 = 4 ⇒ x² + 5x = 0 ⇒ x = ; x =

Обратная замена (2 ветвь):

x² + 5x + 4 = -6 ⇒ x² + 5x + 10 = 0. D 0 (корней нет)

Craftum Конструктор сайтов Craftum